Произведение четырёх последовательных натуральны хчисел равно 3024. Найдите эти числа

Разложим число 3024 на простые множители и найдем четыре последовательные натуральные числа, произведение которых равно 3024:

3024 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 7 = (2 * 2 * 2) * (2 * 3) * (3 * 3) * 7 = 8 * 6 * 9 * 7.

Следовательно, искомыми натуральными числами являются 6, 7, 8 и 9.

Составление и преобразование уравнения

Обозначим меньшее из четырех чисел - x. Тогда получим четыре последовательных натуральных числа:

x; x + 1; x + 2; x + 3.

По условию задачи, произведение этих чисел равно 3024:

x * (x + 1) * (x + 2) * (x + 3) = 3024. (1)

В уравнении (1) раскроем скобки, перемножив первый множитель с четвертым, а второй - с третьим:

(x² + 3x) * (x² + 2x + x + 2) = 3024;

(x² + 3x) * (x² + 3x + 2) = 3024;

((x² + 3x + 1) - 1) * ((x² + 3x + 1) + 1) = 3024. (2)

Введение новой переменной и решение уравнения относительно y

Обозначим

x² + 3x + 1 = y

и заменим в уравнении (2):

(y - 1) * (y + 1) = 3024;

y² - 1 = 3024;

y² = 3025;

y = ± 55.

Решение квадратных уравнений относительно x

Для каждого значения "y" решим соответствующее квадратное уравнение:

1) y = - 55;

x² + 3x + 1 = - 55;

x² + 3x + 56 = 0;

D = 3² - 4 * 56 < 0,

дискриминант меньше нуля, поэтому уравнение не имеет решений.

2) y = 55;

x² + 3x + 1 = 55;

x² + 3x - 54 = 0;

D = 3² + 4 * 54 = 9 + 216 = 225;

x = ( - 3 ± 15) / 2;

x1 = - 18 / 2 = - 9,

не удовлетворяет условию задачи, т. к. ищем только натуральные решения.

x2 = 12 / 2 = 6.

Следовательно, четыре последовательных натуральных числа суть:

6; 7; 8; 9.

Проверим произведение этих чисел:

6 * 7 * 8 * 9 = 54 * 56 = 3024.

Ответ: 6; 7; 8; 9.