Найдите все значения х, при каждом из которых производная функция у=х^3-6x^2+9x-11 равна нулю

Для начала найдем производную функции, результатом взятия производной должна получиться квадратичная функция:

у = х³ - 6 * x² + 9 * x - 11;

у' = (х³ - 6 * x² + 9 * x - 11) = (х³) ' - (6 * x²) ' + (9 * x) ' - (11) ' = 3 * х^{3 - 1} - 6 * 2 * x^{2 - 1} + 9 - 0 = 3 * х² - 12 * x + 9;

Приравняем полученную квадратичную функцию нулю и найдем корни уравнения - их будет не более двух:

3 * х² - 12 * x + 9 = 0;

Вынесем общий множитель и отбросим его - он не повлияет на результаты решения:

3 * (х² - 4 * x + 3) = 0;

х² - 4 * x + 3 = 0;

Согласно теореме Виета, уравнение можно представить:

(х - 3) * (х - 1) = 0;

Приравняв каждый множитель нулю, получим корни уравнения:

х - 3 = 0;

х = 3;

х - 1 = 0;

х = 1;

Решать можно было и через дискриминант, так как уравнение приведено к виду a * x² + b * x + c = 0. Вернемся к первоначальному уравнению, полученному при взятии производной и проверим свои вычисления:

3 * х² - 12 * x + 9 = 0;

То есть а = 3; b = - 12; с = 9.

Такое уравнение имеет 2 решения:

x = ( - b + / - √‾ (D)) / (2 * a);

D = b² - 4 * a * c = (-12) ² - 4 * 3 * 9 = 144 - 108 = 36

x₁ = ( - b - √‾ (D)) / (2 * a) = (12 - √‾36) / (2 * 3) = (12 - 6) / 6 = 1;

x₂ = ( - b + √‾ (D)) / (2 * a) = (12 + √‾36) / (2 * 3) = (12 + 6) / 6 = 3.

Производная исходной функции равна нулю в точках x₁ = 1 и x₂ = 3.