В треугольнике со стороными 2,3 и 4 косинус угла лежащего против меньшей стороны, меньше чем две третьих?

Пусть угол напротив меньшей стороны равен a.

Формула для расчета площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:

S = (1/2) ab * sin (a).

Площадь треугольника по формуле Герона:

p = (2 + 3 + 4) / 2 = 9/2;

S = √ (9/2) (9/2 - 2) (9/2 - 3) (9/2 - 4) = √ ((9/2) (5/2) (3/2) (1/2)) = (3/4) * √15;

(3/4) * √15 = (1/2) * 3 * 4 * sin (a);

sin (a) = (3*√15) / (4*6) = √15/8;

cos (a) = √ (1 - sin^2 (a)) = √ (1 - 15/64) = √ (49/64) = 7/8;

Сравниваем значение cos a = 7/8 и 3/2, найдя для дробей общий знаменатель:

2/3 = 16/24;

7/8 = 21/24.

Ответ: cos (a) > 2/3.