В треугольнике ABC AB=10, AC=6, угол C равен 90 градусов. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника APB, где AP - биссектриса угла A

Треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом C.

Тогда по теореме Пифагора:

BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - 6^2 = 64 и ВС = 8.

Вычислим длины отрезков BP и CP. По свойству биссектрисы имеем:

AC / AB = 8 - BP / BP, 6 / 10 = 8 / BP - 1, 16 / 10 = 8 / BP,

BP = 80 / 16 = 5 и CP = 3.

Площадь S треугольника ABC = 1 / 2 * AC * BC = 1 / 2 * 6 * 8 = 24.

Найдём площадь S1 треугольника ABP. Пусть площадь ACP равна S2.

S1 / S2 = 0,5 * BP * h / 0,5 * CP * h = BP / CP = 5 / 3, а значит

S1 + S2 = S = S1 + 3 / 5 * S1 = 8 / 5 * S1 = 24, S1 = 15.

Вычислим по теореме косинусов длину AP:

AP^2 = AB^2 + BP^2 - 2 * AB * BP cos (CBA) =

= 100 + 25 - 100 * 8 / 10 = 45, AP = 3 * √5.

По формуле вычисления площади по сторонам и радиусу описанной окружности имеем:

S1 = 15 = AB * BP * AP / 4 * R = 10 * 5 * 3 * √5 / 4 * R,

60 * R = 150 * √5, R = 5 * √5 / 2.