4 sin в степени 2 х-cos x - 1=0

Преобразуем тригонометрическое выражение:

4sin²х - cosx - 1 = 0;

Применим формулу основного тождества тригонометрических функций:

sin²x = 1 - cos²x;

4 (1 - cos²x) - cosx - 1 = 0;

4 - 4cos²x - cosx - 1 = 0;

- 4cos²x - cosx + 3 = 0;

4cos²x + cosx - 3 = 0;

Выполним замену сosx = у, |y| ≤ 1:

4y² + y - 3 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = (1) ² - 4 * 4 * ( - 3) = 1 + 48 = 49;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 1 - √49) / 2 * 4 = ( - 1 - 7) / 8 = - 8 / 8 = - 1;

у2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 1 + √49) / 2 * 4 = ( - 1 + 7) / 8 = 6 / 8 = 3/4;

Тогда, если у2 = - 1, то:

сosx = - 1;

х1 = π + 2πn, n ∈ Z;

если у2 = 3/4, то:

сosx = 3/4;

х2 = ± arccos (3/4) + 2πn, n ∈ Z;

Ответ: х1 = π + 2πn, n ∈ Z, х2 = ± arccos (3/4) + 2πn, n ∈ Z.