Высота АД остроугольного треугольника АВС разбивает его основание на два отрезка такие, что ВД=8 и ДС=9. Найдите длину высоту АД, если известно, что высота треугольника ВК делит высоту АД пополам

Рассмотрим треугольник АВС с высотами АД и ВК, опущенными на стороны ВС и АС.

Обозначим точку пересечения высот через О.

По условию задачи известно, что:

ВД = 8, ДС = 9 и АО = ДО.

Рассмотрим треугольник ВОД. Очевидно, что он прямоугольный.

Следовательно, имеем:

ДО = ВД * tg (ОВД) = 8 * tg (ОВД).

Заметим, что углы ОВД = ДАС, т. к. треугольники АСД, ВКС - прямоугольные и у них общий угол АСВ.

Следовательно, имеем:

ДС = АД * tg (ДАС),

9 = 2 * ДО * tg (ОВД) = 2 * 8 * tg^2 (ОВД),

tg (ОВД) = 3/4. Отсюда получаем:

9 = АД * 3/4,

АД = 12.

Ответ: АД = 12.