Найдите пятизначное число которое при делении на числа от 2 до 12 число дает остаток не меньший половины денителя

1. Найдем возможные остатки для каждого делителя:

1) на 2: 1; 2) на 3: 2; 3) на 4: 3; 4) на 6: 5; 5) на 8: 7; 6) на 12: 11; 7) на 5: 3 или 4; на 10: 8 или 9; 8 не подходит, значит: на 5: 4; на 10: 8; 8) на 9: 5 или 8; 8) на 7: 4, 5, 6; 9) на 11: 6, 7, 8, 9, 10.

2. Для чисел 8, 3 и 5 остаток на единицу меньше делителя, поэтому для искомого числа n имеем:

n + 1 = 8 * 3 * 5k = 120k; n = 120k - 1. (1)

3. Для остальных делителей:

1) 7;

(120k - 1) mod 7 = k - 1; k - 1 ≡ 4, 5, 6 (mod 7). k ≡ 0, 5, 6 (mod 7). (2)

2) 11;

(120k - 1) mod 11 = - k - 1; - k - 1 ≡ 6, 7, 8, 9, 10 (mod 11); k + 1 ≡ 1, 2, 3, 4, 5 (mod 11); k ≡ 0, 1, 2, 3, 4, 5 (mod 11); (3)

3) 9;

(120k - 1) mod 9 = 3k - 1; 3k - 1 ≡ 5, 8 (mod 9); 3k ≡ 0, 6 (mod 9); k ≡ 0, 2 (mod 3). (4)

4. Найдем наименьшее пятизначное число, удовлетворяющее условию (1):

n = 120k - 1 = 10000; 120k = 10001; k = 10001/120 ≈ 83,34; kmin = 84.

5. Проверим условия для k ≥ 84:

k ≡ 0, 5, 6 (mod 7); подходят 84, 89, 90, ...; k ≡ 0, 1, 2, 3, 4, 5 (mod 11); подходят 88, 89, 90, ...; k ≡ 0, 2 (mod 3); подходят 84, 86, 87, 89, ...;

Наименьшее значение k, удовлетворяющее всем условиям:

k = 89; n = 120 * 89 - 1 = 10679.

6. Проверка:

10679 (mod 2) = 1; 10679 (mod 3) = 2; 10679 (mod 4) = 3; 10679 (mod 5) = 4; 10679 (mod 6) = 5; 10679 (mod 7) = 4; 10679 (mod 8) = 7; 10679 (mod 9) = 5; 10679 (mod 10) = 9; 10679 (mod 11) = 9; 10679 (mod 12) = 11.

Ответ: 10679.