Катер прошёл 15 км против течения и 6 по течению. затратив на весь путь столько же времени сколько ему потребовалось бы на путь по озеру длинной 22 км. какова скорость катера если скорость течения 2 км/ч

Расстояние по течению (S_{по теч.}) = 6 км;

Расстояние против течения (S_{пр. теч.}) = 15 км;

Расстояние по озеру (S_{по оз.}) = 22 км;

Всё время (t_общ.) = (t_{по. оз.});

Скорость катера (V_к.) - ? км/ч;

Скорость течения реки (V_теч.) = 2 км/ч;

Скорость катера по течению реки:

V_{по теч.} = V_к. + V_теч. = V_к. + 2 (км/ч).

Скорость катера против течения реки:

V_{пр. теч.} = V_к. - V_теч. = V_к. - 2 (км/ч).

Т. к. S = V * t, то:

S_{пр теч.} = V_{пр. теч.} * t _{пр теч.}, т. е. (V_к. - 2) * t _{пр. теч.} = 15, значит, t _{пр. теч.} = 15 / (V_к. - 2);

S_{по теч.} = V_{по теч.} * t _{по теч.}, т. е. (V_к. + 2) * t _{по теч.} = 6, значит, t _{по теч.} = 6 / (V_к. + 2);

t_общ. = 15 / (V_к. - 2) + 6 / (V_к. + 2);

Т. к. скорость катера в озере - есть его собственная скорость, то V_{по оз.} = V_к.

Т. е. t_{по. оз.} = 22 / V_к.

По условию t_общ. = t_{по. оз.}, т. о. имеем:

15 / (V_к. - 2) + 6 / (V_к. + 2) = 22 / V_к.;

(15 * (V_к. + 2) + 6 * (V_к. - 2)) / (V_к.^2 - 4) = 22 / V_к.;

(15V_к. + 30 + 6V_к. - 12) / (V_к.^2 - 4) = 22 / V_к.;

(21V_к. + 18) * V_к. = 22 * (V_к.^2 - 4);

21V_к.^2 + 18V_к. = 22V_к.^2 - 88;

21V_к.^2 + 18V_к. - 22V_к.^2 + 88 = 0;

-V_к.^2 + 18V_к. + 88 = 0;

V_к.^2 - 18V_к. - 88 = 0;

Получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью нахождения дискриминанта или по теореме Виета.

С помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-18) ^2 - 4 * 1 * (-88) = 324 + 352 = 676;

Корень из дискриминанта sqrt (D) = sqrt (676) = ±26;

V_к.1,2 = (-b ± sqrt (D)) / 2a = (18 ± 26) / 2;

V_{к. 1} = (18 + 26) / 2 = 22 (км/ч);

V_{к. 2} = (18 - 26) / 2 = - 4 - скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит.

По т. Виета:

V_{к. 1} + V_{к. 2} = 18 и V_{к. 1} * V_{к. 2} = - 88

Получаем те же корни, что и при решении с помощью дискриминанта.

Ответ: скорость катера равна 22 км/ч.