1+log6 ((x+3) / (x+7)) = 1/2 log6 (x-1) 2

Найдем ОДЗ уравнения 1 + log₆ ((x + 3) / (x + 7)) = 1/2log₆ (x - 1) ².

Так как (x-1) ² > 0 при всех х, то решаем неравенство (x + 3) / (x + 7) > 0 методом интервалов.

В итоге ОДЗ уравнения выглядит так: x - 3.

При преобразовании уравнения используем свойства логарифмов.

log₆6 + log₆ ((x + 3) / (x + 7)) = log₆ ((x - 1) ²) ^1/2,

log₆ (6 (x + 3) / (x + 7)) = log₆ (x - 1),

6 (x + 3) / (x + 7) = x - 1.

Решаем дробное уравнение, умножив обе части на (x + 7).

6 (x + 3) = (x - 1) (х + 7),

6 х + 18 = х² + 7 х - х - 7,

х² - 25 = 0,

(х - 5) (х + 5) = 0,

х₁ = 5,

х₂ = - 5 - не принадлежит ОДЗ уравнения.

Ответ: 5.