13. дано уравнение 2 cos^3 x + 1 = cos^2 (-3 п/2-x)

Решим уравнение 2 * cos ^ 3 x + 1 = cos ^ 2 ( - 3 п/2 - x)

2 * cos ^ 3 x + 1 = cos ^ 2 ( - 3 * pi/2 - x);

Для решения уравнения используем тригонометрические формулы:

Sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1; Cos ( - x) = cos x; Cos (3 * pi/2 + x) = sin x.

Используя формулу четности тригонометрических функций cos ( - x) = cos x получим:

2 * cos ^ 3 x + 1 = cos ^ 2 ( - (3 * pi/2 + x));

2 * cos ^ 3 x + 1 = cos ( - (3 * pi/2 + x)) * cos ( - (3 * pi/2 + x));

2 * cos ^ 3 x + 1 = cos (3 * pi/2 + x) * cos (3 * pi/2 + x);

Используя формулу приведения cos (3 * pi/2 + a) = sin a, тогда получим:

2 * cos ^ 3 x + 1 = sin x * sin x;

2 * cos ^ 3 x + 1 = sin ^ 2 x;

Перенесем все значения выражения на одну сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:

2 * cos ^ 3 x + 1 - sin ^ 2 x = 0;

Используя формулу сокращенного умножения sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1, то получим sin ^ 2 x = 1 - cos ^ 2 x. Подставим вместо sin ^ 2 x выражение 1 - cos ^ 2 x и получим:

2 * cos ^ 3 x + 1 - (1 - cos ^ 2 x) = 0;

Сначала раскрываем скобки. Если перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. Если же перед скобками стоит знак плюс, то при ее раскрытии знаки значений остаются без изменений. То есть получаем:

2 * cos ^ 3 x + 1 - 1 + cos ^ 2 x = 0;

2 * cos ^ 3 x + cos ^ 2 x = 0;

Вынесем за скобки общий множитель cos ^ 2 x и получим:

Cos ^ 2 x * (2 * cos x + 1) = 0;

Cos x * cos x * (2 * cos x + 1) = 0;

Получили уравнения cos x = 0 и 2 * cos x + 1 = 0. Решим каждое уравнение по отдельности.

Решим уравнение cos x = 0

Cos x = 0;

X = pi/2 + pi * n, где n принадлежит Z;

Решим уравнение 2 * cos x + 1 = 0

2 * cos x + 1 = 0;

Известные значения переносим на одну сторону, а неизвестные на другую сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:

2 * cos x = - 1;

Cos x = - ½;

X = + - arcos ( - ½) + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

X = + - 2 * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

Отсюда получили, что уравнение 2 * cos ^ 3 x + 1 = cos ^ 2 ( - 3 * pi/2 - x) имеет корни:

X = pi/2 + pi * n, где n принадлежит Z; X = + - 2 * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

X = + - 2 * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z.

2 * cos ^ 3 x + 1 = cos ^ 2 ( - 3 * п/2 - x);

2 * cos ^ 3 x + 1 = cos ^ 2 ( - (3 * п/2 + x));

2 * cos ^ 3 x + 1 = cos ^ 2 (3 * п/2 + x);

2 * cos ^ 3 x + 1 = cos (3 * п/2 + x) * cos (3 * pi/2 + x);

2 * cos ^ 3 x + 1 = sin x * sin x;

2 * cos ^ 3 x + 1 - sin ^ 2 x = 0;

2 * cos ^ 3 x + sin ^ 2 x + cos ^ 2 x - sin ^ 2 x = 0;

2 * cos ^ 3 x + cos ^ 2 x = 0;

cos ^ 2 x * (2 * cos x + 1) = 0;

1) cos ^ 2 x = 0;

cos x = 0;

x = pi/2 + pi * n, где n принадлежит Z;

2) 2 * cos x + 1 = 0;

2 * cos x = - 1;

cos x = - 1/2;

x = + - arccos (-1/2) + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

x = + - 2 * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

Ответ: x = pi/2 + pi * n и x = + - 2 * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z.