Вычислить производную y=2x+1/√x-1/2x√x

Найдём производную функции: y = 2x + 1 / √x - 1 / 2 x √x.

Эту функцию можно записать так:

y = 2x + x^ (-1 / 2) - 1 / 2 * x^ (-3 / 2)

Воспользовавшись формулами:

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(с * u) ' = с * u', где с - const (основное правило дифференцирования).

(с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

И так, найдем поэтапно производную:

1) (2x) ' = 2 * х^ (1-1) = 2 * х^0 = 2 * 1 = 2;

2) (x^ (-1 / 2)) ' = - 1 / 2 * х^ ((-1 / 2) - 1) = - 1 / 2 * х^ (-3 / 2);

3) (-1 / 2 * x^ (-3 / 2)) ' = (-1 / 2) * (-3 / 2) * х^ ((-3 / 2) - 1) = (3 / 4) * х^ (-5 / 2);

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y' = (2x + 1 / √x - 1 / 2 x √x) ' = (2x + x^ (-1 / 2) - 1 / 2 * x^ (-3 / 2)) ' = (2x) ' + (x^ (-1 / 2)) ' + ( - 1 / 2 * x^ (-3 / 2)) ' = 2 + ( - 1 / 2 * х^ (-3 / 2)) + ((3 / 4) * х^ (-5 / 2)) = 2 - 1 / (2√ (x^3)) + 3 / (4√ (x^5)).

Ответ: y' = 2 - 1 / (2√ (x^3)) + 3 / (4√ (x^5)).