найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трех ее членов равна 39, а сумма обратных им величин равна 13/27.

1. Пусть для первых трех членов геометрической прогрессии bn выполняются условия:

{b1 + b2 + b3 = 39;

{1/b1 + 1/b2 + 1/b3 = 13/27.

2. Найдем первый член и знаменатель q:

b1 = b2/q; b3 = b2q; {b2/q + b2 + b2q = 39;

{q/b2 + 1/b2 + 1/b2q = 13/27; {b2 (1/q + 1 + q) = 39;

{1/b2 * (q + 1 + 1/q) = 13/27; { (q + 1 + 1/q) ^2 = 39 * 13/27;

{b2^2 = 39 : 13/27; { (q + 1 + 1/q) ^2 = (13/3) ^2;

{b2^2 = 9^2.

3. Берем только положительные значения согласно условию:

{q + 1 + 1/q = 13/3;

{b2 = 9; 3q^2 + 3q + 3 = 13q; 3q^2 - 10q + 3 = 0; D = 5^2 - 3 * 3 = 16 = 4^2; q = (5 ± 4) / 3;

1) q = (5 - 4) / 3 = 1/3;

b1 = b2/q = 9 : 1/3 = 27.

2) q = (5 + 4) / 3 = 3 - не подходит, т. к. bn - убывающая.

4. Сумма всех членов:

S = b1 / (1 - q); S = 27 / (1 - 1/3) = 27 / (2/3) = 27 * 3/2 = 81/2 = 40,5.

Ответ: 40,5.