Дана функция f (x) = 8√x*9 (корень продолжается до 9) + 1/3x записать уравнение касательной к данной функции в точке х=+1. Определить точки в которых касательная параллельна оси Х

Рассмотрим функцию f (x) = 8 * √ (x * 9) + (1/3) * x, которую перепишем в виде f (x) = 24 * √ (x) + (1/3) * x. По требованию задания, найдём уравнение касательной к данной функции в точке x₀ = 1. Кроме того, определим те точки графика данной функции, в которых касательная параллельна оси х. Воспользуемся формулой касательной к графику функции f (x) в точке x = x₀, которая имеет вид y = fꞋ (x₀) * (x - x₀) + f (x₀). Это уравнение перепишем в виде y = fꞋ (x₀) * x + f (x₀) - fꞋ (x₀) * x₀. Определим производную данной функции f Ꞌ (x) = (24 * √ (x) + (1/3) * x) Ꞌ = 12 / √ (x) + 1/3. Вычислим f Ꞌ (x₀) = 12 / √ (1) + 1/3 = 12⅓ и f (x₀) = 24 * √ (1) + (1/3) * 1 = 24⅓. Тогда, искомое уравнение имеет вид: y = (12⅓) * x + 24⅓ - (12⅓) * 1 или y = (12⅓) * x + 12⅓. Как известно, любая прямая параллельная оси абсцисс имеет угловой коэффициент, равный нулю. Для нашего задания, этот факт можно оформить как 12 / √ (x₀) + 1/3 = 0. Решим это уравнение относительно x₀. Поскольку для любого x₀ > 0 справедливо 12 / √ (x₀), то имеет: 12 / √ (x₀) + 1/3 > 1/3. Это означает, что последнее уравнение не имеет решения. Следовательно, не существует касательной, параллельной оси абсцисс.

Ответ: y = (12⅓) * x + 12⅓; Не существует касательной, параллельной оси абсцисс.