В арифметической прогрессии а2=6. При каком значении разница прогрессии (d<0) произведение а1 а3 а6 будет наименьшим?

Любой член арифметической прогрессии можно записать:

an = a1 + (n - 1) * d, где d - разность прогрессии.

По условию задачи имеем:

a2 = a1 + d = 2.

Рассмотрим функцию F (d) = a1 * a3 * a6.

F (d) = a1 * (a1 + 2 * d) * (a1 + 5 * d) =

= a1 * (a1 + d + d) * (a1 + d + 4 * d) =

= a1 * (2 + d) * (2 + 4 * d) =

= a1 * (4 * d^2 + 8 * d + 2 * d + 4) = 4 * a1 * (d^2 + 5/2 * d + 1) =

= 4 * a1 * (d^2 + 2 * 5/4 * d + 25/16 - 25/16 + 1) =

= 4 * a1 * ((d + 5/4) ^2 - 9/16).

Очевидно, что функция F (d) достигает минимума при d = - 5/4.

Ответ: d = - 5/4.