НАйдите наименьшее значение функции y=x^3-4x^2-35x-16 на отрезке [3; 12]

1. Найдем первую производную функции:

у' = (х^3 - 4 х^2 - 35 х - 16) ' = 3 х^2 - 8 х - 35.

2. Приравняем эту производную к нулю и найдем критические точки:

3 х^2 - 8 х - 35 = 0;

D = b^2 - 4ac = 64 + 4 * 3 * 35 = 484.

x1 = (-b + √D) / 2a = (8 + 22) / 6 = 5;

x2 = (-b - √D) / 2a = (8 - 22) / 6 = - 2 1/3.

Точка х = - 2 1/3 не принадлежит заданному отрезку.

3. Найдем значение функции в точке х = 5 и на концах заданного отрезка [3; 12]:

у (5) = 5^3 - 4 * 5^2 - 35 * 5 - 16 = 125 - 100 - 175 - 16 = - 166;

у (3) = 3^3 - 4 * 3^2 - 35 * 3 - 16 = 27 - 36 - 105 - 16 = - 130;

у (12) = 12^3 - 4 * 12^2 - 35 * 12 - 16 = 1728 - 576 - 420 - 16 = 716.

Ответ: fmin = - 166.