Девятый член возрастающей геометрической прогрессии равен 2916, а произведение ее первого члена на пятый равно 16. Найти шестой член этой геометрической прогрессии?

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии bn = b1*q^ (n-1), где b1 - первый член геометрической прогрессии, q - знаменатель геометрической прогрессии.

Согласно условию задачи, b9 = 2916, следовательно, справедливо следующее соотношение:

b1*q^ (9 - 1) = 2916.

Также известно, что произведение первого члена b1 данной геометрической прогрессии на пятый член b5 равно 16, следовательно, справедливо следующее соотношение:

b1*b1*q^ (5 - 1) = 16.

Решаем полученную систему уравнений. Подставляя во второе уравнение значение b1 = 2916 / q^8 из первого уравнения, получаем:

(2916 / q^8) * (2916 / q^8) * q^4 = 16.

Решаем полученное уравнение:

(8503056/q^16) * q^4 = 16;

8503056/q^12 = 16;

q^12 = 8503056/16;

q^12 = 531441;

q^12 = 729^2;

q^12 = (9^3) ^2;

q^12 = 9^6;

q^12 = (3^2) ^6;

q^12 = 3^12.

Из полученного соотношения следует, что q = 3 и q = - 3. По условию задачи, данная геометрическая прогрессия является возрастающей, следовательно значение q = - 3 не подходит.

Используя соотношение b1 = 2916 / q^8, находим b1:

b1 = 2916 / q^8 = 2916 / 3^8 = (4*3^6) / 3^8 = 4/3^2 = 4/9.

Зная b1 и q, находим b6:

b6 = b1*q^ (6-1) = b1*q^5 = (4/9) * 3^5 = (4/3^2) * 3^5 = 4*3^3 = 4*27 = 108.

Ответ: шестой член данной геометрической прогрессии равен 108.