Из деревни Вязь в город Дон выехал мопед, а через 15 минут вслед за ним выехал мотоцикл. На половине пути от Вязи до Дона мотоцикл догнал мопед. Когда мотоцикл прибыл в Дон, мопеду до города оставалось проехать ещё 1/3 пути. Скорости движения мопеда и мотоцикла были постоянны на всём пути. Найдите время, за которое мопед проехал путь от Вязи до Дона.

Перед решением задачи можно нарисовать схему движения мопеда и мотоцикла и обозначить известные значения.

Необходимые формулы S = V*t; V = S/t; t = S/V; где S - весь путь, V = скорость движения, t - время. Введем переменные для нахождения времени

Обозначим весь путь за S, скорость мопеда за Х, скорость мотоцикла за у, время движения мопеда до встречи t₁, время мотоцикла от места встречи до Дона t₂.

Составим уравнение

1. Мопед до встречи проехал ровно полпути, поэтому S/2 = x*t₁, умножаем обе части на 2, получаем S = 2xt₁.

2. Переведем время из минут в часы: 15 мин = 15/60 часа = 1/4 часа.

3. Время мотоциклиста до встречи равно t₁ - 1/4, значит половина пути до места встречи равна S/2 = y (t₁ - 1/4). Умножим на 2 обе части уравнения, получается S = 2y (t₁ - 1/4). Раскрываем скобки: S = 2yt₁ - y/2.

4. Приравниваем выраженный путь (пункт 1) 2 хt₁ = 2yt₁ - y/2.

5. Рассмотрим вторую половину пути. Полпути движения мотоциклиста равно S/2 = y * t₂, отсюда S = 2yt₂.

6. Расстояние, которое проехал мопед от места встречи равно S/2 - S/3. Приводим к общему знаменателю (3S - 2S) / 6 = S/6.

7. Это расстояние мопед проехал за то же время, за которое мотоцикл доехал от места встречи до Дона, значит S/6 = xt₂. Умножаем обе части уравнения на 6, получаем S = 6xt₂.

8. Приравниваем выраженный путь (пункты 5 и 7) : 2yt₂ = 6xt₂. Делим обе части уравнения на t₂, получаем 2 у = 6 х, сокращаем на 2, выходит у = 3 х.

9. Подставляем выраженное значение у в формулу (пункт 4). 2 хt₁ = 2 * 3x * t₁ - 3x/2. Отсюда 2xt₁ = 6xt₁ - 3x/2. Приводим правую часть уравнения к общему знаменателю. 2xt₁ = (12xt₁ - 3x) / 2. Отсюда 4xt₁ = 12xt₁ - 3x. Делим обе части на х, получается 4t₁ = 12t₁ - 3. Решаем уравнение. 8t₁ = 3, t₁ = 3/8 = 0,375 (ч.)

10. Это мы нашли время, за которое мопед проехал половину пути. Значит, весь путь равен 0,375 * 2 = 0,75 часа = 45 минут.

Ответ: 45 минут

Первую половину пути мотоцикл проехал на 15 минут быстрее, чем мопед. Значит и на вторую часть пути мотоцикл затратит на 15 минут меньше. То есть 1/3 пути у мопеда займет 15 минут.

Весь путь мопед проедет за время, равное:

15 * 3 = 45 минут.

Ответ: мопед проехал путь от Вязи до Дона за 45 минут.