Дана функция y = 0.25x^4 - 2x^2. 1) найти промежутки возрастания и убывания 2) точки экстремума 3) наибольшее и наим. значение [-3; 1]

1. Производные функции:

y = 0,25x^4 - 2x^2; y' = x^3 - 4x; y" = 3x^2 - 4.

2. Критические точки:

x^3 - 4x = 0; x (x^2 - 4) = 0; x (x + 2) (x - 2) = 0; [x = 0;

[x + 2 = 0;

[x - 2 = 0; [x = 0;

[x = - 2;

[x = 2.

3. Вычислим значения второй производной в критических точках и найдем точки экстремума:

y" (-2) = 3 * (-2) ^2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0; x = - 2 - точка минимума; y" (0) = 3 * 0^2 - 4 = - 4 <0; - точка максимума; y" ( * 2^2 - - > 0; x = 2 - точка минимума.

4. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке [-3; 1]:

y (-3) = 0,25 * (-3) ^4 - 2 * (-3) ^2 = 0,25 * 81 - 2 * 9 = 20,25 - 18 = 2,25; y (-2) = 0,25 * (-2) ^4 - 2 * (-2) ^2 = 0,25 * 16 - 2 * 4 = 4 - 8 = - 4; y (0) = 0; y (1) = 0,25 - 2 = - 1,75. min (y) = - 1,75; max (y) = 2,25.