дана функция у = 0,5 х в 4 степени - 4 х в квадрате. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1; 3]

а) Найдем производную функции.

у = 0,5 х⁴ - 4 х².

у' = 2 х³ - 8 х.

Найдем нули производной.

у' = 0; 2 х³ - 8 х = 0; 2 х (х² - 4) = 0; х = 0, х = - 2, х = 2.

Определяем знаки производной на каждом промежутке.

(-∞; - 2) пусть х = - 3: 2 * (-3) ³ - 8 * (-3) = - 30; минус, функция убывает.

(-2; 0) пусть х = - 1: 2 * (-1) ³ - 8 * (-1) = 6; плюс, функция возрастает.

(0; 2) пусть х = 1: 2 * 1³ - 8 * 1 = - 6; минус, функция убывает.

(2; + ∞) пусть х = 3: 2 * 3³ - 8 * 3 = 30; плюс, функция возрастает.

б) Значит, точками экстремума являются точки - 2, 0 и 2.

х_min = - 2; х_min = 2.

x_max = 0.

в) В промежуток [-1; 3] попадают две точки экстемума:

x_max = 0 и х_min = 2.

Найдем значение функции в этих точках.

у (0) = 0,5 * 0⁴ - 4 * 0² = 0 - это максимальное значение функции на промежутке [-1; 3].

у (2) = 0,5 * 2⁴ - 4 * 2² = - 8 - это минимальное значение функции [-1; 3].