Найдите наибольшее значение функции f (x) = 18 (0,5x - 2) ^2 - (0,5x - 2) ^4 при | x - 5 | ≤ 3.

1. Критические точки:

f (x) = 18 (0,5x - 2) ^2 - (0,5x - 2) ^4; f' (x) = 18 * 2 * 0,5 (0,5x - 2) - 4 * 0,5 (0,5x - 2) ^3; f' (x) = 18 (0,5x - 2) - 2 (0,5x - 2) ^3; f' (x) = 2 (0,5x - 2) (9 - (0,5x - 2) ^2); f' (x) = 2 (0,5x - 2) (3 + 0,5x - 2) (3 - 0,5x + 2); f' (x) = 2 (0,5x - 2) (0,5x + 1) (5 - 0,5x); f' (x) = - 2 (0,5x + 1) (0,5x - 2) (0,5x - 5); f' (x) = - 1/4 * (x + 2) (x - 4) (x - 10); x1 = - 2; x2 = 4; x3 = 10.

2. Рассматриваемый промежуток:

|x - 5| ≤ 3; - 3 ≤ x - 5 ≤ 3; - 3 + 5 ≤ x ≤ 3 + 5; 2 ≤ x ≤ 8; x ∈ [2; 8].

Сюда входит одна критическая точка: x2 = 4.

3. Наибольшее значение на отрезке [2; 8]:

f (x) = 18 (0,5x - 2) ^2 - (0,5x - 2) ^4; f (2) = 18 (1 - 2) ^2 - (1 - 2) ^4 = 18 - 1 = 17; f (4) = 18 (2 - 2) ^2 - (2 - 2) ^4 = 0; f (8) = 18 (4 - 2) ^2 - (4 - 2) ^4 = 18 * 4 - 16 = 72 - 16 = 56.

Ответ: 56.