В тот день когда Диму поздравляли с днем рождения его брат и сестра, Дима сказал - я теперь вдвое старше брата и втрое старше сестры и наш средний возраст - 11 лет, сколько лет Диме

Обозначим количество лет, которое исполнилось Диме, через А.

Тогда, по условию задачи имеем, что брату Димы - А / 2 лет, а его сестре - А / 3.

Вычислим среднее арифметическое возрастов Димы, его брата и сестры:

(А + А / 2 + А / 3) / 3 = (6 * А + 3 * А + 2 * А) / 6 * 3 =

= 11 * А / 18 = 11,

А = 18.

Следовательно, Диме исполнилось 18 лет, его брату 9 лет, а его сестре 6 лет.

Ответ: Диме исполнилось 18 лет.