При каких значениях а уравнение ||x-4|-3|+2a=0 имеет 3 пересечения. Найдите эти решения

1. Перенесем 2a в правую часть:

||x - 4| - 3| + 2a = 0; ||x - 4| - 3| = - 2a. (1)

2. Уравнение (1) имеет решение при неотрицательном значении правой части:

{-2a ≥ 0;

{|x - 4| - 3 = ±2a; {a ≤ 0;

{|x - 4| = 3 ± 2a; {a ≤ 0;

{[|x - 4| = 3 - 2a; (2)

{[|x - 4| = 3 + 2a. (3)

3. Полученная система имеет три решения, если одно из выражений в правых частях уравнений (2) и (3) положительно, а другое равно нулю. Поскольку a ≤ 0, то 3 + 2a ≤ 3 - 2a, следовательно:

{a ≤ 0;

{3 + 2a = 0;

{[|x - 4| = 3 - 2a;

{[|x - 4| = 3 + 2a; {a ≤ 0;

{2a = - 3;

{[|x - 4| = 3 - (-3);

{[|x - 4| = 3 + (-3); {a = - 3/2;

{[|x - 4| = 6;

{[|x - 4| = 0; {a = - 3/2;

{[x - 4 = ±6;

{[x - 4 = 0; {a = - 3/2;

{[x = 4 ± 6;

{[x = 4 + 0; {a = - 3/2;

{[x = - 2;

{[x = 10;

{[x = 4.

Ответ. Уравнение имеет три корня: - 2; 4 и 10 при a = - 3/2.