Найти интегралы 3.15-3.19

По всей видимости, составителям задания кажется, что существует только один задачник, откуда берутся примеры по интегралам. Для того, чтобы как-то выполнить требование данного задания, откроем любой задачник и решим примеры 3.15 - 3.19, если под этими номерами имеются интегралы.

3. 15. Рассмотрим интеграл ∫ ((2 * х - 5) * е^{-3 * х}) dx, которого обозначим через А. По требованию задачника, используя метод интегрирования по частям, вычислим данный интеграл. Воспользуемся формулой метода интегрирования по частям ∫udv = uv - ∫vdu. Пусть u = 2 * х - 5 и dv = е^{-3 * х}dx. Тогда, du = 2dx и v = - ⅓ * е^{-3 * х}. Следовательно, А = ∫ ((2 * х - 5) * е^{-3 * х}) dx = ∫udv = uv - ∫vdu = (2 * х - 5) * (-⅓ * е^{-3 * х}) - ∫ ((-⅓ * е^{-3 * х}) * 2) dx = - ⅓ * (2 * х - 5) * е^{-3 * х} + ⅔ * ∫ (е^{-3 * х}) dx = - ⅓ * (2 * х - 5) * е^{-3 * х} - (2/9) * е^{-3 * х} + C = (-1/9) * (6 * x - 13) * е^{-3 * х} + C, где С - постоянная. Ответ: (-1/9) * (6 * x - 13) * е^{-3 * х}, где С - постоянная. 3. 16. Рассмотрим интеграл ∫ (х * cos (2 * x)) dx, которого обозначим через В. Пусть u = х и dv = cos (2 * x) dx. Тогда, du = dx и v = ½ * sin (2 * x). Следовательно, А = ∫ (х * cos (2 * x)) dx = x * (½ * sin (2 * x)) - ∫ (½ * sin (2 * x)) dx = (x / 2) * sin (2 * x) - ½ * ∫ (sin (2 * x)) dx = (x / 2) * sin (2 * x) + ¼ * cos (2 * x) + C, где С - постоянная. Ответ: (x / 2) * sin (2 * x) + ¼ * cos (2 * x), где С - постоянная. 3. 17. Рассмотрим интеграл ∫ (х * е^-х) dx, которого обозначим через D. Пусть u = х и dv = е^-хdx. Тогда, du = dx и v = - е^-х. Следовательно, D = ∫ (х * е^-х) dx = х * (-е^-х) - ∫ (-е^-х) dx = - х * е^-х + ∫ (е^-х) dx = - х * е^-х - е^-х + C = - (x + 1) * е^-х + C, где С - постоянная. Ответ: - (x + 1) * е^-х + C, где С - постоянная. 3. 18. Рассмотрим интеграл ∫ (х³ * е^-х) dx, которого обозначим через E. Пусть u = х³ и dv = е^-хdx. Тогда, du = 3 * x²dx и v = - е^-х. Следовательно, E = ∫ (х³ * е^-х) dx = х³ * (-е^-х) - ∫ (3 * x² * (-е^-х)) dx = - х³ * е^-х + 3 * ∫ (x² * е^-х) dx. Ещё раз применим метод интегрирования по частям. На этот раз, пусть u = х² и dv = е^-хdx. Тогда, du = 2 * xdx и v = - е^-х. Поэтому, Е = - х³ * е^-х + 3 * (х² * (-е^-х) - ∫ (2 * x * (-е^-х)) dx) = - х³ * е^-х - 3 * х² * е^-х + 6 * ∫ (x * е^-х) dx. Теперь воспользуемся результатом предыдущего пункта. Имеем: Е = - х³ * е^-х - 3 * х² * е^-х + 6 * ( - (x + 1) * е^-х) + C = - (x³ + 3 * x² + 6 * x + 6) * е^-х + C, где С - постоянная. Ответ: - (x³ + 3 * x² + 6 * x + 6) * е^-х + C, где С - постоянная. 3. 19. Рассмотрим интеграл ∫ (lnx) dx, которого обозначим через F. Пусть u = lnx и dv = dx. Тогда du = (1 / x) dx и v = x. Следовательно, F = ∫ (lnx) dx = x * lnx - ∫ ((1 / x) * x) dx = x * lnx - ∫dx = x * lnx - x + C = x * (lnx - 1) + C, где С - постоянная. Ответ: x * (lnx - 1) + C, где С - постоянная.