Найти неопределенные интегралы. а) ∫ (3x²-√x + 5) dx б) ∫dx:1+∛x-1 dx

а) Рассмотрим неопределенный интеграл ∫ (3 * x² - √ (x) + 5) dx, которого обозначим через А. Используя свойства неопределённых интегралов, интеграл А преобразуем в следующем виде: А = ∫ (3 * x²) dx - ∫√ (x) dx + ∫5dx = 3 * ∫x²dx - ∫x^-1/2dx + 5 * ∫dx. Воспользуемся следующей формулой ∫x^αdx = x^{α + 1} / (α + 1), где α ≠ - 1. Имеем: А = 3 * x^{2 + 1} / (2 + 1) - x^{-1/2 + 1} / (-1/2 + 1) + 5 * x + С = х³ - 2 * √ (x) + 5 * х + С. б) Рассмотрим неопределенный интеграл ∫ (1 / (1 + ∛ (x - 1))) dx, которого обозначим через В. Процесс интегрирования можно упростить, если сделать следующую замену переменных t = ∛ (x - 1) = (x - 1) ^1/3. Тогда, очевидно, что dt = d (x - 1) ^1/3 = (1/3) * (x - 1) ^{(1/3) - 1}d (x - 1) = (1/3) * ((x - 1) ^1/3) ^-2dx = dx / (3 * t²), откуда dx = 3 * t²dt. Следовательно, В = ∫ (3 * t² / (1 + t)) dt = 3 * ∫ (t² / (1 + t)) dt. Подынтегральное выражение преобразуем следующим образом: t² / (1 + t) = (t² - 1 + 1) / (t + 1) = (t² - 1) / (t + 1) + 1 / (t + 1) = (t + 1) (t - 1) / (t + 1) + 1 / (t + 1) = t - 1 + 1 / (t + 1). Поэтому В = 3 * ∫ (t - 1 + 1 / (t + 1)) dt = 3 * (∫tdt - ∫dt + ∫ (1 / (t + 1)) dt) = 3 * (t² / 2 - t + ln|t + 1|) + C. Сделаем обратную замену. Тогда, В = 3 * ((∛ (x - 1)) ² / 2 - ∛ (x - 1) + ln|∛ (x - 1) + 1|) + C = 1,5 * ∛ (x - 1) ² - 3 * ∛ (x - 1) + 3 * ln|∛ (x - 1) + 1| + C.