Решите неравенство методом интервалов: а) (х+5) (6-х) ≥0 б) х²<196 в) 2 х²-9 х+4>02. При каких значениях параметра m уравнение х²+2mx + (m+2) = 0 имеет корни

1) а) (х + 5) (6 - х) ≥ 0. Во второй скобке х имеет отрицательный коэффициент.

- (х + 5) (х - 6) ≥ 0 (умножим на - 1, знак перевернется).

(х + 5) (х - 6) ⩽ 0.

Находим корни неравенства:

х + 5 = 0; х = - 5.

х - 6 = 0; х = 6.

Расставляем знаки на каждом интервале: (+) - 5 (-) 6 (+).

Знак неравенства ⩽ 0, решением будет промежуток со знаком минус.

Ответ: х принадлежит промежутку [-5; 6].

б) х² < 196.

Перенесем 196 в левую часть и разложим выражение по формуле разности квадратов.

х² - 196 < 0.

(х - 14) (х + 14) < 0.

Корни неравенства:

х + 14 = 0; х = - 14.

х - 14 = 0; х = 14.

Расставляем знаки: (+) - 14 (-) 14 (+).

так как знак неравенства < 0, то решением будет промежуток со знаком (-), числа не взодят в промежуток.

Ответ: х принадлежит промежутку (-14; 14).

в) 2 х² - 9 х + 4 > 0.

Разложим квадратный трехчлен на множители:

2 х² - 9 х + 4 = 2 (х - х₁) (х - х₂).

D = 81 - 32 = 49 (√D = 7);

х₁ = (9 - 7) / 4 = 2/4 = 0,5.

х₂ = (9 + 7) / 2 = 8.

2 х² - 9 х + 4 = 2 (х - 0,5) (х - 8) = (2 х - 1) (х - 8).

Получилось неравенство: (2 х - 1) (х - 8) > 0.

Находим корни неравенства:

2 х - 1 = 0; х = 0,5.

х - 8 = 0; х = 8.

Расставляем знаки: (+) 0,5 (-) 8 (+).

Знак неравенства > 0, решением будут промежутки со знаком (+).

Ответ: х принадлежит промежуткам (-∞; 0,5) и (8; + ∞).

2) Квадратный трехчлен имеет корни, если дискриминант больше или равен нулю.

х² + 2mx + (m + 2) = 0.

а = 1; b = 2m; c = m + 2.

D = (2m) ² - 4 * 1 * (m + 2) = 4m² - 4m - 8.

D ⩾ 0; 4m² - 4m - 8 ⩾ 0. Поделим на 4:

m² - m - 2 ⩾ 0.

Рассмотрим функцию у = m² - m - 2. Это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; m² - m - 2 = 0.

D = 1 + 8 = 9 (√D = 3);

m1 = (1 - 3) / 2 = - 1;

m2 = (1 + 3) / 3 = 2.

Отмечаем на прямой точки - 1 и 2, рисуем параболу через эти точки, ветви вверх. Знак неравенства ⩾ 0, решением будут промежутки над осью х.

Ответ: m принадлежит промежуткам (-∞; - 1] и [2; + ∞).