Три числа являются первыми тремя членами возрастающей арифметической прогрессии и составляют в сумме 42. Если к ним прибавить соответственно 5, 18 и 47, то полученные числа будут последовательными членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите сумму первых десяти членов исходной арифметической прогрессии.

Пусть а ₁ , а ₂ и а ₃ - первые три члена заданной арифметической прогрессии.

Выразим первый и третий члены прогрессии через второй член и разность:

а ₁ = а ₂ - d;

a ₃ = a ₂ + d.

Т. к. сумма этих трех членов прогрессии равна 42, имеем:

(а ₂ - d) + а ₂ + (а ₂ + d) = 42;

3 а ₂ = 42;

а ₂ = 42 : 3;

а ₂ = 14.

Тогда а ₁ = 14 - d, а ₂ = 14, а ₃ = 14 + d.

b ₁ = a ₁ + 5 = 14 - d + 5 = 19 - d;

b ₂ = a ₂ + 18 = 14 + 18 = 32;

b ₃ = a3 + 47 = 14 + d + 47 = 61 + d.

b ₁ , b ₂ , b ₃ - последовательные члены геометрической прогрессии по условию.

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии b _n+1 ² = b _n * b _n+2 .

32 ² = (19 - d) (61 + d);

1024 = 1159 - 61d + 19d - d ² ;

d ² + 42d - 135 = 0;

D = 42 ² - 4 * 1 * ( - 135) = 1764 + 540 = 2304 = 48 ² .

d ₁ = ( - 42 - 48) / (2 * 1) = - 90/2 = - 45 (этот корень не подходит, т. к. по условию арифметическая прогрессия возрастающая, т. е. разность прогрессии больше 0);

d ₂ = ( - 42 + 48) / (2 * 1) = 6/2 = 3.

Разность заданной арифметической прогрессии d = 3.

Тогда а ₁ = 14 - 3 = 11.

По формуле S _n = (2a ₁ + d (n - 1)) * n / 2 найдем сумму десяти первых членов арифметической прогрессии:

S ₁₀ = (2 * 11 + 3 * (10 - 1)) * 10 / 2 = (22 + 27) * 5 = 245.

Ответ: S ₁₀ = 245.