Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим числам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, являющиеся последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Найдите седьмой член исходной геометрической прогрессии, если известно, что он меньше 1000.

Запишем соотношение между данными числами, используя свойства геометрической и арифметической прогрессии.

b₁ * (1 - q³) / (1 - q) = 91.

(b₁ * q² + 1) - (b₁ * q + 27) = (b₁ * q + 27) - (b₁ + 25).

b₁ = 91 (1 - q) / (1 - q³).

b₁ * q² + 1 - b₁ * q - 27 = b₁ * q + 27 - b₁ - 25.

b₁ * q² - 2b₁ * q + b₁ = 28.

b₁ (q² - 2q + 1) = 28.

b₁ = 28 / (q² - 2q + 1).

Приравняем полученные выражения для b₁.

91 (1 - q) / (1 - q³) = 28 / (q² - 2q + 1).

91 (1 - q) * (q² - 2q + 1) = 28 (1 - q) * (q² + q + 1)

Раскроем скобки.

91q² - 182q + 91 = 28q² + 28q + 28.

63q² - 210q + 63 = 0.

21q² - 70q + 21 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = √ (70 * 70 - 4 * 21 * 21) = √ (4900 - 1764) = √3136 = 56.

q_1,2 = (70 ± 56) / 2 * 21.

При q₁ = 3 первый член ряда:

b₁ = 28 / (3² - 2 * 3 + 1) = 28 / (9 - 6 + 1) = 7.

При q₂ = 1/3:

b₁ = 28 / (1/3) ² - 2 * 1/3 + 1) = 28 / (1/9 - 6/9 + 9/9) = 7 * 9 = 63.

При знаменателе равном 3 седьмой член ряда больше 1000.

Найдём седьмой член прогрессии для q₂.

b₇ = 63 * (1/3) ⁶ = 63 * 1/729 = 21/243.

Ответ: b₇ = 21/243.