Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по единице, а к третьему члену прибавить единицу, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии.

Question

Евгений Михайлов

Математика

22 августа, 16:28

Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по единице, а к третьему члену прибавить единицу, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии.

+1

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Мирослава Романова · Answer 1

Для начала, an члены арифметической прогрессии.

А также, bn члены арифметической прогрессии.

Сумма 3 первых членов арифметической прогрессии равна:

a1 + a2 + a3 = 15.

b1 = a1 - 1.

b2 = a2 - 1.

b3 = a3 + 1.

b1 + b2 + b3 = a1 - 1 + a2 - 1 + a3 + 1 = a1 + a2 + a3 - 1 = 15 - 1 = 14.

S3 = b1 + b2 + b3 = 14.

Сумма 3 первых членов геометрической прогрессии равна:

S3 = b1 * (q³ - 1) / (q - 1) = b1 * (q - 1) * (q² + q + 1) / (q - 1) = b1 * (q² + q + 1).

S3 = (a1 - 1) * (q² + q + 1) = 14.

S3 = 14, при условии, что значения в скобках будут 2 и 7.

То есть 2 * 7 = 14.

Составим два уравнения:

(a1 - 1) = 2 и (q² + q + 1) = 7.

D = b² - 4 * a * c = 12 - 4 * 1 * (-6) = 25.

√D = √25 = 5.

a1 = 3.

q² + q + 1 = 7.

q1 = (-b + √D) / 2 * a = (-1 + 5) / 2 = 4 / 2 = 2.

q² + q - 6 = 0.

q2 = (-1 - 5) / 2 = 6 / 2 = - 3.

q = 2.

Отрицательный корень - 3 не рассматриваем.

b1 = a1 - 1 = 3 - 1 = 2.

b2 = b1 * q = 2 * 2 = 4.

b3 = b1 * q² = 2 * 4 = 8.

a1 = 3.

a2 = b2 + 1 = 4 + 1 = 5.

a3 = b3 - 1 = 8 - 1 = 7.

Sn = (a1 + an) * n/2.

d = a2 - a1 = 5 - 3 = 2.

a10 = a1 + d * (n - 1) = 3 + 2 * (10 - 1) = 21.

S10 = (3 + 21) * 5 - 24 * 5 = 120.

Ответ: 120.