На параде барабанщики стоят ровным квадратным строем в 50 рядов по 50 барабанщиков. Барабанщики одеты либо в синие, либо в красные костюмы. Какое наибольшее количество барабанщиков можно одеть в синие костюмы так, чтобы каждый одетый в синее барабанщик видел только красных барабанщиков? Барабанщиков считать смотрящими во все стороны (на все 360 градусов) и точечными.

Количество рядов и количество колонн

Два барабанщика увидят друг друга лишь в том случае, когда между ними не будет стоять третий.

Поскольку барабанщики соседних рядов или колонн видят друг друга, то одновременно, в двух соседних рядах или колоннах не должны стоять барабанщики в синих костюмах. Из этого следует, что количество рядов и количество колонн, в которых могут находиться барабанщики в синей форме, не больше 25, а значит и количество всех барабанщиков в синей форме не больше 25^2 = 625.

Максимальное число барабанщиков в синих костюмах

Доказали, что барабанщиков в синей форме не больше 625; но возможно ли такое количество, т. е. 625? Докажем, что возможно.

Распределим барабанщиков таким образом, чтобы в точках пересечения четных рядов и четных колонн стояли синие барабанщики, а во всех остальных - красные. Если представить группу барабанщиков в виде двумерной матрицы, а каждого из них в виде ее элемента, то получим:

x[m, n] = синий барабанщик, если m = 2k, n = 2l, x[m, n] = красный барабанщик, в противном случае, где m, n = 1; 2; ... 50; где k, l = 1; 2; ... 25.

Покажем, что при таком распределении, барабанщики в синей форме не увидят друг друга, т. е. между двумя любыми синими барабанщиками будет стоять третий.

Допустим, два барабанщика в синей форме x1 и x2 имеют местоположения:

m1 = 2k1; n1 = 2l1; x1 = x[2k1, 2l1]; m2 = 2k2; n2 = 2l2; x2 = x[2k2, 2l2].

Тогда для местоположения, соответствующего середине отрезка, соединяющего двух барабанщиков, получим:

m = (m1 + m2) / 2 = (2k1 + 2k2) / 2 = k1 + k2; n = (n1 + n2) / 2 = (2l1 + 2l2) / 2 = l1 + l2.

Поскольку k и l - натуральные числа от 1 до 25, то при сложении получим натуральные числа от 2 до 50. Следовательно, между двумя синими барабанщиками, ровно в середине, в точке с индексами m и n будет стоять какой-либо барабанщик (не обязательно красный), который и будет препятствовать тому, чтобы они увидели друг друга.

Ответ: 625.