В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, равна 1, один из острых углов равен 15°. Найти гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике АВС известно:

Высота, опущенная на гипотенузу, равна 1, то есть СН = 1; Угол А = 15 °.

Найдем гипотенузу АВ.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ACH, с прямым углом Н. Так как, высота СН перпендикулярна гипотенузе АВ.

В треугольнике АСН:

Катет СН = 1;

АС - гипотенуза.

sin a = CH/AC;

Отсюда выразим АС.

АС = СН/sin a = 1/sin 15;

2) AH = √ (AC^2 - CH^2) = √ (1/sin 15) ^2 - 1) = √ (1/sin^2 15 - 1) = √ ((1 - sin^2 15) / sin^2 15) = √ ((sin^2 15 + cos^2 15 - sin^2 15) / sin^2 15) = √ (cos^2 15/sin^2 15) = cos 15/sin 15;

3) AC^2 = AB * AH;

AB = AC^2/AH;

AB = (1/sin 15) ^2 / (cos 15/sin 15) = 1/sin^2 15 * sin 15/cos 15 = 1 / (sin 15 * cos 15) = 1 / (1/2 * sin 30) = 1 / (1/2 * 1/2) = 1 / (1/4) = 4/1 = 4.

Ответ: АВ = 4.