log_5 (x^2) + log_x (5) + 3=0

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию:

log ₅ х² + log _х 5 + 3 = 0;

ОДЗ:

x > 0;

log ₅ х² + 1/log ₅ х + 3 = 0;

Вынесем показатель степени за логарифм:

2log ₅ х + 1/log ₅ х + 3 = 0;

Выполним замену:

log ₅ х = t;

2t + 1/t + 3 = 0;

Приведем уравнение к общему знаменателю:

(2t² + 3t + 1) / t = 0;

2t² + 3t + 1 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 3² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1;

D › 0, значит:

t1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 3 - √1) / 2 * 2 = ( - 3 - 1) / 4 = - 4 / 4 = - 1;

t2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 3 + √1) / 2 * 2 = ( - 3 + 1) / 4 = - 2 / 4 = - 1/2;

Подставим значения:

Если t1 = - 1, то:

log ₅ х = - 1;

log ₅ х = log ₅ 5 ^{( - 1)} ;

x = 5 ^{( - 1)} ;

x1 = 1/5;

Если t2 = - 1/2, то:

log ₅ х = - 1/2;

log ₅ х = log ₅ 5 ^{( - 1/2)} ;

x = 5 ^{( - 1/2)} ;

x1 = 1/√5;

Ответ: х1 = 1/5, х2 = 1/√5.