1) Найти промежутки возрастания и убывания функцииу=2 х^3+5 х^2+4 х2) Найти наибольшее и наименьшее значение функцииу=2sinх+sin2 х, на промежутке [0; 3 П/2]

1) Найдём производную данной функции:

y' = (2 x³ + 5 x² + 4 x) ' = 6 x² + 10 x + 4;

Производная равна нулю при

x = (-5 ± √ (25 - 24)) / 6 = ( - 5 ± 1) / 6;

x₁ = - 2/3;

x₂ = - 1.

В этих точках функция имеет локальные экстремумы.

Вторая производная

y'' = 12 x + 10 = 0. x₃ = - 5/6/

Вторая производная в найденных точках

y'' = 12 x₁ + 10 = 2 > 0. Следовательно, в точке х₁ локальный максимум.

y'' = 12 x₂ + 10 = - 2 < 0. Следовательно, в точке х₁ локальный минимум.

Левее точки х₁ функция отрицательна и непрерывно убывает при уменьшения х.

Правее точки х₂ функция отрицательна, но непрерывно возрастает при возрастании х.

В промежутке от x₂ до х₃ функция убывает.

В промежутке от x₃ до х₁ функция убывает.

2) Ищем точки экстремума. Производная равна;

y' = (2 sin х + sin² х) ' = 2 cos х + 2 cos x sin х = 2 cos x (1 + sin x);

y' = 0;

a) cos x = 0;

x_1,2 = ± Pi/2;

b) 1 + sin x = 0;

x₃ = - Pi/2 = 3 Pi/2;

Найдём значения функции в этих точках:

у = 2 sin х₁ + sin 2 х₁ = 1;

у = 2 sin х₂ + sin 2 х₂ = - 1;

у = 2 sin х₃ + sin 2 х₃ = - 1;

Cледовательно,

при х = Pi/2 имеем максимум равный 1,

при х = З Pi/2 имеем минимум равный - 1,