Исследуйте функцию y=4lnx-x^2/2 на монотонность и экстремумы

1. Область определения функции:

x > 0; x ∈ (0; ∞).

2. Найдем критические точки функции, вычислив производную функции:

y = 4lnx - x^2/2; y' = 4/x - x; 4/x - x = 0; (4 - x^2) / x = 0; (2 - x) (2 + x) = 0; x = - 2 ∉ (0; ∞); x = 2 - критическая точка.

3. Промежутки монотонности:

a) x ∈ (0; 2), y' > 0, функция возрастает; b) x ∈ (2; ∞), y' < 0, функция убывает.

4. Экстремумы функции:

В точке x = 2 функция от возрастания переходит к убыванию, следовательно:

x = 2 - точка максимума.

Ответ:

a) функция возрастает на промежутке (0; 2]; b) функция убывает на промежутке [2; ∞); c) x = 2 - точка максимума.