Найти призводную функции f (x) = sin^2*2φ и вычислить f' (π / 6)

Найдём производную данной функции: f (x) = sin^2 (2φ).

Воспользовавшись формулами:

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(sin x) ' = cos x (производная основной элементарной функции).

(с * u) ' = с * u', где с - const (основное правило дифференцирования).

y = f (g (x)), y' = f'u (u) * g'x (x), где u = g (x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f (x) ' = (sin^2 (2φ)) ' = (2φ) ' * (sin (2φ)) ' * (sin^2 (2φ)) ' = 2 * (cos (2φ) * 2sin (2φ) = 4 (cos 2φ) (sin 2φ).

Вычислим значение производной в точке х0 = π / 6:

f (π / 6) ' = 4 * (cos 2 * (π / 6)) * (sin 2 * (π / 6)) = 4 * (cos (π / 3)) * (sin (π / 3)) = 4 * (1 / 2) * (√3 / 2) = √3.

Ответ: f (x) ' = 4 (cos 2φ) (sin 2φ), a f (π / 6) ' = √3.