На доске написано десятизначное число, все цифры которого различны. Какой остаток оно даёт при делении на 9?

Так как число десятизначное, а цифры по условию задачи различны, значит число состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и не важно в каком они порядке используются в данном числе.

Найдем сумму цифр этого числа:

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

Используем признак делимости на 9, который гласит: если сумма цифр данного числа делится на 9 без остатка, то и число делится на 9 без остатка: 45 / 9 = 5; значится десятизначное число делится на 9, а остаток равен нулю.

Ответ: десятизначное число, все цифры которого различны, при делении на 9 дает в остатке 0.