3 числа, cумма которых 65, составляют геометрическую прогрессию. Если из 1 вычесть 25, 2 оставить без изменений, а к 3 прибавить 5, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа

Т. к. сумма членов известна, то по формуле суммы получаем:

b₁ * (1 - q³) / (1 - q) = 65,

b₁ * (1 - q) * (1 + q + q²) / (1 - q) = 65,

b₁ * (1 + q + q²) = 65,

b₁ = 65 / (1 + q + q²).

После увеличения первого и второго членов арифметической прогрессии получим:

b₂ - (b₁ - 25) = b₃ + 5 - b₂.

Выразим b₂ = b₁ q, b₃ = b₁ q², получим:

b₁ q - (b₁ - 25) = b₁ q², + 5 - b₁ q,

2b₁ q - b₁ q² - b₁ = - 20.

b₁ (2q - q² - 1) = - 20.

(2q - q² - 1) * 65 / (1 + q + q²) = - 20,

130q - 65q² - 65 = - 20 - 20q - 20q²,

9q² - 30q + 9 = 0,

D = 900 - 324 = 576.

q₁ = 3, или q₂ = 1/3.

При q₁ = 3 b₁ = 65 / (1 + 3 + 9),

b₁ = 5, b₂ = 15, b₃ = 45.

При q₁ = 1/3 b₁ = 65 / (1 + 1/3 + 1/9),

b₁ = 45, b₂ = 15, b₃ = 5.

Ответ: исходные числа 5; 15; 45 или 45; 15; 5.