Доказать, что когда а²+b²+c²=ab+ac+bc, то а = b=c

Умножим обе части уравнения на 2 и сгруппируем члены следующим образом:

2 * (a^2 + b^2 + c^2) = 2 * (a * b + a * c + b * c).

(a^2 + b^2 - 2 * a * b) + (a^2 + c^2 - 2 * a * c) + (b^2 + c^2 - 2 * b * c) = 0.

(a - b) ^2 + (a - c) ^2 + (b - c) ^2 = 0 (1).

Каждое выражение уравнения (1) не может быть меньше нуля, так как возведено в квадрат.

Значит, чтобы уравнение (1) было равно нулю, каждый его член должен быть равен нулю.

(a - b) ^2 = 0.

(a - c) ^2 = 0.

(b - c) ^2 = 0.

Тогда,

a - b = 0.

a - c = 0.

b - c = 0.

Следовательно, a = b = c.