х^3 + y^3=1, x^2 + xy + y^2=7. (система)

Преобразуем первое уравнение, получим:

(x + y) * ((x + y) ² - 3 * x * y) = 1.

Второе уравнение будет таким:

(x + y) ² - x * y = 7.

Замена x + y = a, x * y = b, получим:

a * (a² - 3 * b) = 1 и a² - b = 7,

b = a² - 7,

-2 * a³ + 21 * a - 1 = 0,

a³ - (21/2) * a + 1/2 = 0.

Используем тригонометрическую подстановку Виета:

p = - 21/2 < 0, q = 1/2;

дискриминант: D = p³/27 + q²/4 = - 685/16 3 вещественных решения:

R = √ (|p|/3) = √3.5,

φ = arccos (q / (2 * R) ³),

a1 = - 2 * R * cos (φ/3),

a2 = - 2 * R * cos (φ/3 + 120),

a3 = - 2 * R * cos (φ/3 + 240);

b = a² - 7,

b1 = a1² - 7,

b2 = a2² - 7,

b3 = a3² - 7.

Получим 3 системы:

1. x + y = a1 и x * y = b1, решений нет.

2. x + y = a2 и x * y = b2, решений нет.

3. x + y = a3 и x * y = b3, решения (-2.621615028055623; 2.669244497323022), (2.669244497323022; - 2.621615028055623).