Докажите неравенство а^2 + b^2-6a+2b+10 больше 0

Выполним преобразование заданного выражения, опираясь на известные формулы сокращенного умножения (представим число 10 как сумму 9 и 1:

а^2 + b^2-6a+2b+10 = а^2 - 6a + 9 + b^2 + 2b + 1 = (а^2 - 6a + 9) + (b^2 + 2b + 1), применим формулы сокращенного умножения: (a-b) ²=a ²-2ab+b ² и (a+b) ²=a²+2ab+b² :

(а^2 - 6a + 9) + (b^2 + 2b + 1) = (a - 3) ² + (b + 1) ².

При любых значениях переменных a и b, квадраты выражений в скобках (a - 3) и (b + 1) всегда будут положительными числами и, соответственно, их сумма этих двух положительных чисел тоже является положительным числом.