Решите систему уравнений: х+у+ху=11 ху (х+у) = 30

Сделав подстановку х + у = р, xy = q, получаем следующую систему уравнений:

p + q = 11,

p*q = 30.

Используя теорему Виета, можем заключить, что p и q являются корнями квадратного уравнения z^2 - 11z + 30 = 0. Корни данного уравнения легко угадываются и они равны z1 = 5, z2 = 6, следовательно, p и q могут принимать следующие значения: p = 5, q = 6 и p = 6, q = 5.

Рассмотрим случай p = 5, q = 6. Возвращаясь к сделанной подстановке, можем записать:

х + у = 5,

ху = 6.

Снова используя теорему Виета, можем заключить, что х и у являются корнями квадратного уравнения z^2 - 5z + 6 = 0.

Корни данного уравнения легко угадываться и они равны z1 = 2, z2 = 3, следовательно, х и у могут принимать следующие значения: х = 2, у = 3 и х = 3, у = 2.

Рассмотрим случай p = 6, q = 5. Возвращаясь к сделанной подстановке, можем записать:

х + у = 6,

ху = 5.

Снова используя теорему Виета, можем заключить, что х и у являются корнями квадратного уравнения z^2 - 6z + 5 = 0. Корни данного уравнения легко угадываться и они равны z1 = 1, z2 = 5, следовательно, х и у могут принимать следующие значения: х = 1, у = 5 и х = 5, у = 1.

Ответ: данная система уравнений имеет 4 пары решений: (2; 3), (3; 2), (1; 5), (5; 1).