При каких значениях параметра а квадратный трехчлен y=x^2 + 2 (a+1) x+9a-5 можно представить в виде полного квадрата?

Воспользуемся формулой сокращенного умножения квадрата суммы (m + n) ² = m² + 2mn + n².

Для того, чтобы заданный квадратный трехчлен у = х² + 2 (а + 1) х + (9 а - 5) можно было представить в виде полного квадрата, нужно, чтобы выполнялось равенство (а + 1) ² = 9 а - 5.

Решим полученное квадратное уравнение с неизвестной переменной а.

а² + 2 а + 1 = 9 а - 5;

а² - 7 а + 6 = 0.

D = 7² - 4 * 6 = 49 - 24 = 25 = 5².

a₁ = (7 - 5) / 2 = 2 / 2 = 1;

a₂ = (7 + 5) / 2 = 12 / 2 = 6.

При а = 1 квадратный трехчлен у = х² + 2 (1 + 1) х + (9 * 1 - 5) = х² + 2 * 2 * х + 4 = (х + 2) ².

При а = 6 квадратный трехчлен у = х² + 2 (6 + 1) х + (9 * 6 - 5) = х² + 2 * 7 * х + 49 = (х + 7) ².

Ответ: при а = 1 и а = 6 заданный квадратный трехчлен может быть представлен в виде полного квадрата.