При каких значениях параметра р функция y = - x^3 + px^2 - 3x + 16 убывает на всей числовой прямой?

Чтобы эта функция всегда монотонно убывала на R, её производная должна быть всюду отрицательна.

Находим производную:

y' (x) = - 3 * x² + 2 * p * x - 3.

По условию - 3 * x² + 2 * p * x - 3 < 0.

Т. к. коэффициент при старшей степени отрицателен, то ветви параболы направлены вниз, поэтому, чтобы соблюдалось неравенство, квадратный трёхчлен не должен иметь корней, т. е. его дискриминант должен быть отрицателен:

D = 4 * p² - 36 < 0, поэтому (-3; 3).

Ответ: функция убывает при р, принадлежащих (-3; 3).