При каких значениях парамерта а функция y=2ax^3+9x^2+54ax+66 убывает на всей числовой прямой

Найдем производную функции:

y' = (6 * a) * x^2 + 18 * x + (54 * a).

Приравняем производную к нулю:

(6 * a) * x^2 * 18 * x + (54 * a) = 0.

Найдем дискриминант функции:

D = 18^2 - 4 * (6 * a) * (54 * a) = 324 - 1296 * a^2.

Заданная функция убывает на всей числовой прямой, если не имеет критических точек, то есть полученное значение дискриминанта ее производной должен быть отрицательным. Найдем значения a, при которых этот дискриминант меньше нуля:

324 - 1296 * a^2 < 0;

1296 * a^2 > 324;

a^2 > 1/4;

-1/2 < a < 1/2.

Таким образом, при значениях параметра - 1/2 < a < 1/2 функция убывает на всей числовой прямой.