1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=1/3x^3-x^2+1 на отрезке [-1; 3]. 2. При каких значениях параметра а функция у=5/3 ах^3 - 30 x^2+5 (a+9) x-7 возрастает на всей числовой прямой?

1. Решение:

Найдем производную: (1/3x ³ - x ² + 1) ' = х² - 2 х.

Найдем критические точки, решив уравнение х² - 2 х = 0;

х ² - 2 х=0 ⇒ х (х - 2) = 0; х₁ = 0, х₂ = 2;

Найденные значения находятся на отрезке [-1; 3]. Подставляем - 1, 0, 2, 3 в функцию и вычисляем его значения:

у (-1) = - 1/3; у (0) = 1; у (2) = - 1/3; у (3) = 1;

Из найденных значений выбираем наименьшее - 1/3 /; и наибольшее 1

Ответ: - 1/3; 1.

2. Решение:

1) При a=0 ⇒ y = - 30x² + 45x - 7 парабола, не имеет смысла.

2) Чтобы график функции у = 5/3 ах ³ - 30x ² + 5 (a+9) x - 7 возрастал нужно, что бы её производная была положительна на числовом промежутке.

Найдем производную функции: y'=5ax² - 60x + 5 (a + 9).

Делим все члены на 5; исследуем ax ² - 12x + a + 9 при;

a ≠ 0; имеем два случая;

{ a > 0; D 0; D/4 < 0;

{a>0; 6² - a (a+9) 0; a² - 9a - 36 >0. {a>0; (a + 3) (a - 12) >0.

{a>0; a∈ (-∞; - 3) U (12; ∞).

a> 12.

ответ: a> 12