Найдите все значения а, при которых уравнение не имеет решений a (x^2+x^-2) - (a+1) (x+x^-1) + 5=0

a (x² + x^-2) - (a + 1) (x + x^-1) + 5 = 0

Попробуем представить данное уравнение в виде квадратного уравнения

Квадратное уравнение имеет вид ах² + вх + с = 0.

Если бы вместо (x² + x^-2) стояла скобка в квадрате, то наше уравнение было бы квадратным.

Предположим, что (x² + x^-2) равно (x + x^-1) ².

Раскроем скобку по формуле квадрата суммы (x + x^-1) ² = х² + 2 * х * х^-1 + (х^-1) ² = х² + 2 + х^-2 то есть (x + x^-1) ² = (x² + x^-2) + 2 другими словами, скобка (x² + x^-2) = (x + x^-1) ² - 2 Производим замену

а ((x + x^-1) ² - 2) - (a + 1) (x + x^-1) + 5 = 0

а (x + x^-1) ² - 2 а - (a + 1) (x + x^-1) + 5 = 0

а (x + x^-1) ² - (a + 1) (x + x^-1) + 5 - 2 а = 0

Пусть (x + x^-1) = у

Получилось квадратное уравнение.

ау² - (а + 1) у + (5 - 2 а) = 0

По условию, данное выражение не имеет корней, то есть дискриминант меньше нуля.

Выразим дискриминант.

D = (а + 1) ² - 4 * а * (5 - 2 а) = (а² + 2 а + 1²) - 4 а (5 - 2 а) = а² + 2 а + 1 - 20 а + 8 а² = 9 а² - 18 а + 1

Получается неравенство 9 а² - 18 а + 1 < 0

Найдем корни данного квадратного многочлена.

9 а² - 18 а + 1 = 0 (квадратичная функция, ветви вверх)

D = 18² - 4 * 9 = 324 - 36 = 288

а₁ = (18 + кв. корень из 288) / 18 = 1 + (12*кв. корень из 2) (~16,6)

а₂ = (18 - кв. корень из 288) / 18 = 1 - (12*кв. корень из 2) (~ - 14,6)

Расположив данные значения на координатной прямой, найдем решение неравенства.

Функция < 0 на промежутке от 1 - (12*кв. корень из 2) до 1 + (12*кв. корень из 2).

Ответ: выражение a (x² + x^-2) - (a + 1) (x + x^-1) + 5 = 0 не имеет корней при а, принадлежащему промежутку (1 - (12*кв. корень из 2); 1 + (12*кв. корень из 2)).

A. Перепишем отрицательные степени в виде дроби:

a (x^2 + x^ (-2)) - (a + 1) (x + x^ (-1)) + 5 = 0;

a (x^2 + 1/x^2) - (a + 1) (x + 1/x) + 5 = 0. (1)

B. Обозначим:

y = x + 1/x;

x^2 - yx + 1 = 0; (2)

D = y^2 - 4.

Нет решений при D < 0;

y^2 - 4 < 0;

y^2 < 4;

y ∈ (-2; 2). (3)

При этих значениях 'y' уравнение (1) не имеет решений.

C. Вычислим y^2:

y^2 = (x + 1/x) = x^2 + 2 + 1/x^2.

Следовательно,

x^2 + 1/x^2 = y^2 - 2.

D. Подставим значения этих выражений в уравнение (1):

a (y^2 - 2) - (a + 1) y + 5 = 0;

ay^2 - (a + 1) y - (2a - 5) = 0. (4)

E. Рассмотрим два случая: 1. a = 0.

-y + 5 = 0;

y = 5.

При a = 0 уравнение (4) имеет единственное решение y = 5, не принадлежащее промежутку (3), следовательно, в этом случае уравнение (1) имеет решение.

2. a ≠ 0.

Для ясности, сначала определим значения a, при которых уравнение (4) имеет решение. На промежутках (-∞; - 2] ∪ [2; ∞) уравнение (4) будет иметь решение, если дискриминант неотрицателен, а наиболее отдаленный от нуля корень находится на расстоянии не меньше чем на 2.

Рассмотрим общее квадратное уравнение:

Ax^2 + Bx + C = 0, где A = a; B = - (a + 1); C = - (2a - 5).

{D ≥ 0;

{|B / 2A| + |√D / 2A| ≥ 2.

Подставив значения A, B и C в эти уравнения, найдем значения a (кроме нуля), при которых уравнение (1) имеет решение:

2.1. D ≥ 0.

D = (a + 1) ^2 + 4a (2a - 5);

D = 9 (a - 1) ^2 - 8;

9 (a - 1) ^2 - 8 ≥ 0;

(a - 1) ^2 ≥ 8/9;

a - 1 ∈ (-∞; - √8/3] ∪ [√8/3; ∞);

a ∈ (-∞; 1 - √8/3] ∪ [1 + √8/3; ∞].

2.2. |B / 2A| + |√D / 2A| ≥ 2.

|B| + √D ≥ 4|A|;

√D ≥ 4|A| - |B|;

[4|A| - |B| ≤ 0;

[D ≥ (4|A| - |B|) ^2;

[4|A| ≤ |B|;

[B^2 - 4AC ≥ 16A^2 - 8|AB| + B^2;

[4|A| ≤ |B|;

[4A^2 - 2|AB| + AC ≤ 0.

Подставим значения A, B и С:

[4|a| ≤ |a + 1|;

[4a^2 - 2|a (a + 1) | - a (2a - 5) ≤ 0;

[4|a| ≤ |a + 1|;

[2a^2 - 2|a (a + 1) | + 5 ≤ 0.

2.2.1. 4|a| ≤ |a + 1|.

2.2.1.1. a ∈ (-∞; - 1).

-4a ≤ - a - 1;

3a ≥ 1;

a ≥ 1/3.

Нет решений.

2.2.1.2. a ∈ [-1; 0].

-4a ≤ a + 1;

5a ≥ - 1;

a ≥ - 1/5;

a ∈ [-1/5; 0].

2.2.1.3. a ∈ (0; ∞).

4a ≤ a + 1;

3a ≤ 1;

a ≤ 1/3;

a ∈ (0; 1/3].

Для трех случаев 2.2.1.1, 2.2.1.2 и 2.2.1.3 получим:

a ∈ [-1/5; 1/3].

2.2.2. 2a^2 - 2|a (a + 1) | + 5 ≤ 0.

2.2.2.1. a ∈ (-∞; - 1) ∪ (0; ∞).

2a^2 - 2 (a^2 + a) + 5 ≤ 0;

-2a + 5 ≤ 0;

a ≥ 5/2;

a ∈ [5/2; ∞).

2.2.2.2. a ∈ [-1; 0].

2a^2 + 2 (a^2 + a) + 5 ≤ 0;

4a^2 + 2a + 5 ≤ 0;

D = 2^2 - 4 * 4 * 5 = - 76 < 0.

Коэффициент при a^2 больше нуля, поэтому неравенство не имеет решений.

Для двух случаев 2.2.2.1 и 2.2.2.2 получим:

a ∈ [5/2; ∞).

2.2.3. Объединение множеств решений в пунктах 2.2.1 и 2.2.2:

[a ∈ [-1/5; 1/3];

[a ∈ [5/2; ∞);

a ∈ [-1/5; 1/3] ∪ [5/2; ∞).

2.3. Пересечение множеств решений в пунктах 2.1 и 2.2:

{a ∈ (-∞; 1 - √8/3] ∪ [1 + √8/3; ∞];

{a ∈ [-1/5; 1/3] ∪ [5/2; ∞).

a ∈ [-1/5; 1 - √8/3] ∪ [5/2; ∞). (5)

Поскольку в пункте 1 выяснили, что при a = 0 уравнение (1) имеет решение, то в итоге получим, что уравнение имеет решение на промежутках (5). Следовательно, уравнение не имеет решений при значениях параметра:

a ∈ (-∞; - 1/5) ∪ (1 - √8/3; 5/2).

Ответ: (-∞; - 1/5) ∪ (1 - √8/3; 5/2).