Найти наименьшее значение функции y=x^3-20x^3+100x+23 на отрезке [9 ... 13]

1. Производная:

y = x^3 - 20x^2 + 100x + 23; y' = 3x^2 - 40x + 100.

2. Стационарные точки:

3x^2 - 40x + 100 = 0; D/4 = 20^2 - 3 * 100 = 100 = 10^2; x = (20 ± 10) / 3; x1 = (20 - 10) / 3 = 10/3; x2 = (20 + 10) / 3 = 30/3 = 10.

3. Промежутки монотонности:

(-∞; 10/3] = > функция возрастает; [10/3; 10] = > функция убывает; [10; ∞) = > функция возрастает.

4. Точки экстремума:

xmax = 10/3; xmin = 10.

5. На отрезке [9; 13] одна точка экстремума - точка минимума, значит, наибольшее значение функции будет на концах отрезка:

y = x^3 - 20x^2 + 100x + 23; y (9) = 9^3 - 20 * 9^2 + 100 * 9 + 23 = 729 - 1620 + 900 + 23 = 32; y (13) = 13^3 - 20 * 13^2 + 100 * 13 + 23 = 2197 - 3380 + 1300 + 23 = 140. max (y) = 140.

Ответ: 140.