Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=2x^3-15x^2+24x+3 на отрезке [2; 3]

Наибольшее и наименьшее значения функции на определенном интервале может быть в точках экстремума (максимума или минимума), если они принадлежат данному промежутку, либо в концах отрезка.

Найдем точки экстремума при помощи производной.

y' = (2x^3 - 15x^2 + 24x + 3) ' = 6x^2 - 30x + 24 - найдем нули функции;

6x^2 - 30x + 24 = 0;

x^2 - 5x + 4 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = ( - 5) ^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9; √D = 3;

x = ( - b ± √D) / (2a);

x1 = (5 + 3) / 2 = 8/2 = 4;

x2 = (5 - 3) / 2 = 2/2 = 1.

Точки с абсциссами 1 и 4 являются точками экстремумов функции y = 2x^3 - 15x^2 + 24x + 3, но они не принадлежат промежутку [2; 3]. Значит, проверим значения функции в концах отрезка [2; 3].

y (2) = 2 * 2^3 - 15 * 2^2 + 24 * 2 + 3 = 16 - 60 + 48 + 3 = 7

y (3) = 2 * 3^3 - 15 * 3^2 + 24 * 3 + 3 = 54 - 135 + 72 + 3 = - 6

Ответ. На промежутке [2; 3] наибольшее значение функции в точке х = 2, у (2) = 7, а наименьшее в точке х = 3, у (3) = - 6.