Найдите производную функции f (x) = -1/cos5x

Найдем производную функции f (x) = - 1/cos (5 * x).

Для того, чтобы найти производную функции f (x) = - 1/cos (5 * x) используем формулы производной:

1) (x/y) ' = (x ' * y - y ' * x) / y ^ 2;

2) cos ' u = - sin u * u ';

3) (x ^ n) ' = n * x ^ (n - 1);

4) x ' = 1;

5) C ' = 0;

Тогда получим:

f ' (x) = ( - 1/cos (5 * x)) ' = - (1 ' * cos (5 * x) - cos ' (5 * x) * 1) / cos ^ 2 (5 * x) = - (0 * cos (5 * x) - ( - sin (5 * x)) * (5 * x) ' * 1) / cos ^ 2 (5 * x) = - (0 + sin (5 * x) * (5 * x) ') / cos ^ 2 (5 * x) = - sin (5 * x) * 5/cos ^ 2 (5 * x) = - 5 * sin (5 * x) / cos ^ 2 (5 * x).

По условию задачи нам необходимо вычислить производную функции f (x) = - 1 / cos 5x. Для этого будем использовать основные формулы и правила дифференцирования.

Формулы и правила для вычисления производной (cos x) ' = - sin x (производная основной элементарной функции); (с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции); (xⁿ) ' = n * x⁽^n-1) (производная основной элементарной функции); (с*u) ' = с*u', где с - const (основное правило дифференцирования); (u / v) ' = (u'v - uv') / v² (основное правило дифференцирования); y = f (g (x)), y' = f'_u (u) * g'_x (x), где u = g (x) (основное правило дифференцирования). Вычисление производной

Найдём производную нашей функции: f (x) = - 1 / cos 5x.

Для данной функции, чтобы найти производную будем использовать правило дифференцирования частного функции, а именно:

f (x) ' = ((( - 1) ' * (cos 5x)) - (( - 1) * (cos 5x) ')) / (cos 5x) ².

Используя, формулы и правила для вычисления производной, дифференцируем функцию почленно, а именно:

Вычислим производную от "-1": "-1" - это const, то есть по правилу дифференцирования у нас получается, что (-1) ' = 0. Вычислим производную от "5x": у нас получается, что (5x) ' = 5 * 1 * х⁰ = 5. Вычислим производную от " (cos 5x) ": производная от " (cos 5x) " - это будет " - sin 5x", следовательно, у нас получается, что ((cos 5x)) ' = - (sin 5x).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f (x) ' = ((( - 1) ' * (cos 5x)) - (( - 1) * (cos 5x) ')) / (cos 5x) ² = ((0 * (cos 5x)) - (( - 1) * 5 * ( - sin 5x))) / (cos 5x) ² = ( - 5sin 5x) / (cos 5x) ².