Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции x+cos2x

Воспользовавшись формулами:

(x ^ n) ' = n * x ^ (n - 1) (производная основной элементарной функции).

(sin x) ' = cos x (производная основной элементарной функции).

(с * u) ' = с * u ', где с - const (основное правило дифференцирования).

y = f (g (x)), y ' = f ' u (u) * g ' x (x), где u = g (x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f (x) ' = (sin ^2 (2φ)) ' = (2φ) ' * (sin (2φ)) ' * (sin ^2 (2φ)) ' = 2 * (cos (2φ) * 2 sin (2φ) = 4 (cos 2φ) (sin 2φ).

Вычислим значение производной в точке х0 = π / 6:

f (π / 6) ' = 4 * (cos 2 * (π / 6)) * (sin 2 * (π / 6)) = 4 * (cos (π / 3)) * (sin (π / 3)) = 4 * (1 / 2) * (√3 / 2) = √3.

Ответ : f (x) ' = 4 (cos 2 φ) (sin 2 φ), a f (π / 6) ' = √3.