2*4^x - 3*10^x = 5*25^x решить показательное уравнение

1. Преобразуем выражение

2*4^x - 3*10^x = 5*25^х

2 * (2²) ^x - 3 * (2 * 5) ^x = 5 * (5²) ^х

2 * (2^х) ² - 3 * 2^х * 5^x = 5 * (5^х) ²

2. Пусть 2^х = а, 5^x = в

Тогда выражение приобретает вид 2 а² - 3 ав = 5 в²

2 а² - 3 ав - 5 в² = 0

3. Представим - 5 в² как - 2 в² - 3 в²

2 а² - 3 ав - 2 в² - 3 в² = 0

4. Разложим на множители методом группировки.

2 а² - 2 в² - 3 ав - 3 в² = 0

2 (а² - в²) - 3 в (а - в) = 0

5. Разложим а² - в² как (а - в) (а + в)

2 (а - в) (а + в) - 3 в (а - в) = 0

6. Вынесем множитель (а - в)

(а - в) (2 (а + в) - 3 в) = 0

(а - в) (2 а + 2 в - 3 в) = 0

(а - в) (2 а - в) = 0

7. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

а - в = 0 или 2 а - в = 0

8. Возвращаемся в замене 2^х = а, 5^x = в.

2^х - 5^x = 0

2^х = 5^x (такого не может быть, 2 не равно 5)

2 * 2^х - 5^x = 0 |: 2^х

2 - (5/2) ^х = 0

(5/2) ^х = 2

х = log₂ (5/2) = log₂5 - log₂2 = log₂5 - 1